Licence mathématiques

Descriptif de l'EC : Dans ce cours nous présentons les méthodes fondamentales de résolution et d'étude des équations différentielles ordinaires. Nous commencerons ce cours par une étude classique des équations du premier ordre, et des équations linéaires du second ordre. Ensuite nous aborderons les équations d'ordre supérieures, les systèmes différentiels linéaires, et le théorème de Cauchy-Lipschitz. Si le temps le permet on se consacrera à l'étude qualitative des systèmes autonomes : points d'équilibre, stabilité et application à des modèles simples.

Descriptif de l'EC : Ce cours se place dans la continuité du cours Séries et intégrales 1 du premier semestre de L2. On y aborde des notions plus avancées de calcul intégral, notamment les intégrales sur des intervalles non bornés, les suites et séries de fonctions, les séries entières et trigonométriques, et les théorèmes d'interversion série/intégrale.

Descriptif de l'EC : Cet EC particulier dans le cursus de la licence de mathématiques est proposé en commun par le département de mathématiques et le SCUIO-IP (Service d'orientation, d'information et d'insertion professionnelle de l'université). Il a plusieurs objectifs et doit permettre à l'étudiant notamment de :

• Découvrir, par ses propres recherches et par la confrontation avec les autres étudiants, la diversité des parcours et des débouchés possibles de la licence de mathématiques ;
• Confronter des représentations professionnelles à une réalité de terrain par l’expérience d’enquête ;
• Développer des compétences transversales : autonomie, initiative, capacité à travailler en équipe, esprit critique, capacité à communiquer à l’écrit et à l’oral.

Descriptif de l'EC : Après des rappels succincts sur les groupes, nous étudierons les anneaux et les principales règles de calcul algébrique, notamment la formule du binôme de Newton. Nous introduirons les notions d'anneaux intègres, euclidiens, principaux et factoriels, ainsi que les produits d'anneaux, les idéaux et les anneaux quotients d'un anneau commutatif. Une attention particulière sera portée à deux exemples fondamentaux : l'anneau des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) et l'anneau des polynômes \(K[X]\), où \(K\) est un corps. Nous développerons leur arithmétique ainsi que celle de leurs quotients.

Le cours se poursuivra par une introduction à la théorie des corps finis. Après avoir présenté la caractéristique d'un corps et les corps premiers \(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) (où \(p\) est un nombre premier), nous étudierons les polynômes irréductibles sur les corps finis, le théorème d'existence des corps finis, leur construction comme quotients de \(\mathbb{F}_p[X]\), ainsi que le théorème d'unicité des corps à \(p^n\) éléments. Nous conclurons par l'étude du groupe multiplicatif d'un corps fini et de la notion d'élément primitif.

Au-delà de leur intérêt théorique, les notions développées dans ce cours constituent des outils fondamentaux pour de nombreux domaines des mathématiques, notamment la théorie des nombres, l'algèbre, la géométrie algébrique, la théorie des codes correcteurs d'erreurs et la cryptographie moderne. Elles constituent donc un socle essentiel pour plusieurs enseignements du parcours ACC du Master Mathématiques et Applications de l'Université Paris 8. Un polycopié de cours, accompagné de nombreux exemples, d'exercices et de démonstrations détaillées, sera distribué aux étudiants.

Descriptif de l'EC : L'objectif de premier de ce cours est de formaliser les liens entre algèbre et géométrie euclidienne, notamment autour de la notion d'orthogonalité. L'asbtraction de la notion de produit scalaire permet de démontrer des résultats génériques forts, qui peuvent s'appliquer à la fois à des espaces géométriques "classiques" (type \(\mathbb{R}^n\)) ou plus exotiques (espaces de suites, de polynômes, de fonctions, etc.). En fin de semestre, quelques notions géométriques analytiques sont également abordées de manière pratique.

Descriptif de l'EC : Cours proposé par l'université, et conçu pour permettre aux étudiant·es d'appréhender les divers phénonèmes actuels liés à l'écologie (changement climatique, modifications de la biodiversité, etc.) et leurs principaux facteurs explicatifs.

Descriptif de l'EC : Pour ce cours d'ouverture, les étudiant·es doivent suivre un enseignement proposé par une autre formation de l'université.

Descriptif de l'EC : [à compléter]

Descriptif de l'EC : Cours d'introduction aux bases de données. En 2026-27, le programme est plus avancé, suite au déplacement du cours de la L1 vers la L2. Voir ci-dessous.